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最終更新日:2018.06.22

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解析学百科II可積分系の数理

可積分系の数理

A5/448ページ/2018年03月20日
ISBN978-4-254-11727-1 C3341
定価8,100円(本体7,500円+税)

中村佳正 ・高崎金久 ・辻本諭 ・尾角正人 ・井ノ口順一 著

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紀伊國屋書店 旭屋倶楽部 東京都書店案内

ソリトン,戸田格子,逆散乱法などの数理物理に端を発し,幾何学・代数学・数論など多くの分野に広がる可積分系の世界を総覧する。〔内容〕古典可積分系/離散可積分/可解格子模型/幾何学と可積分系/応用可積分系

執筆者一覧

中村佳正 (京都大学大学院情報学研究科教授)
高崎金久 (近畿大学理工学部教授)
辻本 諭 (京都大学大学院情報学研究科准教授)
尾角正人 (大阪市立大学大学院理学研究科教授)
井ノ口順一 (筑波大学数理物質系教授)

目次

第1章 古典可積分系 (高崎金久)
 1.1 はじめに
 1.2 可積分性の意味 
  1.2.1 リューヴィル可積分性 
  1.2.2 リューヴィル可積分系はどのような意味で可積分か 
  1.2.3 ラックス表示 
  1.2.4 ラックス表示の例
  1.2.5 r行列による包合性の証明
 1.3 変数分離
  1.3.1 一般的考察
  1.3.2 変数分離の例
  1.3.3 包合的な保存量の構成
  1.3.4 ラックス表示をもつ可積分系の変数分離
 1.4 群論的解法
  1.4.1 QR分解とLR分解
  1.4.2 QR分解による有限戸田鎖の解法
  1.4.3 LR分解によるコスタント-戸田系の解法
  1.4.4 半無限戸田鎖のハンケル行列式解
 1.5 ハミルトン構造
  1.5.1 ポアソン構造
  1.5.2 r行列とラックス表示
  1.5.3 AKS の定理
  1.5.4 双ハミルトン構造
 1.6 ソリトン方程式概観
  1.6.1 1 1次元のソリトン方程式
  1.6.2 1 2次元のソリトン方程式
  1.6.3 双線形形式とソリトン解
  1.6.4 無限個の保存量と高次時間発展
 1.7 KP 階層
  1.7.1 擬微分作用素の算法
  1.7.2 KP階層のラックス形式
  1.7.3 補助線形方程式系と佐藤方程式系
  1.7.4 τ関数と双線形方程式
  1.7.5 ロンスキー行列式解
 1.8 KP 階層とグラスマン多様体
  1.8.1 グラスマン多様体
  1.8.2 ロンスキー行列式解の解釈
  1.8.3 τ関数のシューア関数展開
  1.8.4 一般解と無限次元グラスマン多様体
 1.9 補足
  1.9.1 可積分性の意味,ラックス表示,変数分離
  1.9.2 群論的方法,ハミルトン構造
  1.9.3 ソリトン方程式
  1.9.4 KP階層の代数幾何学的解
  1.9.5 KP階層の拡張されたラックス形式
  1.9.6 無分散可積分系
  1.9.7 サイバーグ-ウィッテン可積分系
  1.9.8 おわりに

第2章 離散可積分系 (辻本 諭)
 2.1 はじめに
  2.1.1 可積分系の離散化
  2.1.2 ロジスティック方程式の離散化
  2.1.3 いろいろな離散格子
  2.1.4 離散格子上のソリトン
 2.2 広田・三輪方程式
  2.2.1 ダルブー変換
  2.2.2 ソリトン解
  2.2.3 KP 階層の双線形恒等式
  2.2.4 行列式の恒等式
 2.3 いろいろな離散可積分系
  2.3.1 離散KP方程式
  2.3.2 離散2次元戸田格子
  2.3.3 簡約化
 2.4 片側無限格子上の可積分系と直交関数系
  2.4.1 2次元戸田格子の分子解
  2.4.2 双直交多項式・直交多項式
  2.4.3 いろいろな直交性と離散可積分系
  2.4.4 直交多項式と戸田格子
  2.4.5 対称な直交多項式とロトカ-ボルテラ格子
  2.4.6 ローラン双直交多項式と相対論的戸田格子
  2.4.7 単位円周上の直交多項式と非線形シュレディンガー方程式
  2.4.8 RII有理関数とRII格子
  2.4.9 歪直交多項式
 2.5 箱玉系・超離散系
  2.5.1 箱玉系
  2.5.2 超離散化
  2.5.3 超離散可積分系
 2.6 離散可積分系の広がり

第3章 可解格子模型 (尾角正人)
 3.1 イジング模型
 3.2 可解格子模型とは
  3.2.1 2次元正方格子上の頂点模型
  3.2.2 ヤン-バクスター方程式
  3.2.3 8頂点模型
 3.3 楕円関数と8頂点模型
  3.3.1 楕円(テータ)関数覚え書き
  3.3.2 8頂点模型の解のパラメトリゼーション
 3.4 8頂点模型の兄弟
  3.4.1 ヤン-バクスター方程式の行列表示
  3.4.2 XYZスピン模型
  3.4.3 頂点・面対応
  3.4.4 制限面模型(ABF模型)
 3.5 6頂点模型とベーテ仮説
  3.5.1 ベーテ仮説法
  3.5.2 6頂点模型の自由エネルギー
 3.6 角転送行列とABF模型
  3.6.1 角転送行列
  3.6.2 CTMの固有値と1次元状態和
  3.6.3 基底状態と1点関数
  3.6.4 ABF 模型のL = 4とイジング模型の同値性
  3.6.5 ロジャース-ラマヌジャン恒等式
 3.7 6頂点模型から箱玉系へ
  3.7.1 フュージョン構成法
  3.7.2 組合せ論的R
  3.7.3 箱玉系
 3.8 さらに進んで学びたい人のために
  3.8.1 量子群
  3.8.2 ベーテ仮説と角転送行列
  3.8.3 箱玉系

第4章 幾何学と可積分系 (井ノ口順一)
 4.1 はじめに
 4.2 曲面の微分幾何と可積分系
  4.2.1 曲面の基本方程式
  4.2.2 ベックルンド変換
  4.2.3 平均曲率一定曲面
  4.2.4 調和写像へ
 4.3 2次元戸田方程式と射影微分幾何
  4.3.1 ラプラスの方法
  4.3.2 ラプラス変換
  4.3.3 射影空間
  4.3.4 射影空間内の曲面
 4.4 リー群と等質空間
  4.4.1 線形接続と測地線
  4.4.2 調和関数
  4.4.3 ケーラー多様体
  4.4.4 リー群
  4.4.5 クライン幾何
  4.4.6 等質リーマン空間
 4.5 調和写像
  4.5.1 調和写像の方程式
  4.5.2 調和系列
  4.5.3 戸田方程式として理解されるとき
  4.5.4 旗多様体の幾何
  4.5.5 超極小曲面
  4.5.6 周期的戸田方程式
  4.5.7 コスタント-戸田格子
  4.5.8 量子コホモロジー
  4.5.9 無分散戸田方程式
 4.6 主カイラル模型
  4.6.1 リー代数に値をもつ微分形式
  4.6.2 不変接続
  4.6.3 調和写像の方程式
  4.6.4 ループ群とグラスマン模型
  4.6.5 ウーレンベック-シーガル理論
  4.6.6 リーマン対称空間への調和写像
  4.6.7 DPW公式
 4.7 曲線の時間発展とソリトン方程式
  4.7.1 ユークリッド平面曲線の時間発展
  4.7.2 等積アフィン幾何
  4.7.3 相似幾何
  4.7.4 アフィン幾何
  4.7.5 射影幾何
  4.7.6 等積中心アフィン幾何
  4.7.7 中心アフィン幾何
  4.7.8 メビウス幾何
  4.7.9 ハイゼンベルグ強磁性体と橋本変換
 4.8 差分幾何
  4.8.1 曲線の離散化
  4.8.2 離散可積分系とのつながり
  4.8.3 2次元戸田方程式の離散化

第5章 応用可積分系 (中村佳正)
 5.1 応用可積分系とは
 5.2 直交多項式
  5.2.1 直交多項式の定義
  5.2.2 行列式表示と3項漸化式
  5.2.3 ファバードの定理
  5.2.4 クリストフェル変換
  5.2.5 代表的な直交多項式
 5.3 ランチョス法とqdアルゴリズム
  5.3.1 ランチョス多項式
  5.3.2 A^n直交ランチョス法とqdアルゴリズム
 5.4 qdアルゴリズムによる固有値計算
  5.4.1 qdアルゴリズムの漸化式の行列表示
  5.4.2 qdアルゴリズムの漸化式の一般項と収束性
  5.4.3 シフトつきqdアルゴリズム
 5.5 qdアルゴリズムと戸田格子
  5.5.1 qdアルゴリズムの連続極限
  5.5.2 戸田格子と直交多項式
 5.6 dLVアルゴリズム
  5.6.1 対称な直交多項式とクリストフェル変換
  5.6.2 離散ロトカ-ボルテラ系
  5.6.3 dLVアルゴリズムによる特異値計算
  5.6.4 シフトつきdLVアルゴリズムによる特異値計算
 5.7 パデ近似
  5.7.1 パデ近似と直交多項式
  5.7.2 qd アルゴリズムによるパデ近似の計算
  5.7.3 戸田格子とラプラス変換
 5.8 おわりに

  関連本

箱玉系の数理

曲線とソリトン

ベーテ仮説と組合せ論

曲面と可積分系

波動と非線形問題30講

解析学百科I 古典調和解析