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整数論基礎講義
本橋 洋一(著)
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- 『整数論基礎講義』正誤表
※ （2018/5/15公開：2019/9/12最終更新）
内容紹介
EuclidからDirichletへ至る整数論の展開を追体験しつつその礎をなす諸理論の深い理解へ。解析的整数論の初歩を中心に，ほぼ全般を初等算術により解説。初学者を導く無二の書。〔内容〕整数の整除／整数の合同／指標／2次形式序論／他
編集部から
○実際的な計算法を実例をもって懇切に解説
○量子因数分解の「数学的基礎」の詳細解説
○原文献の委細に基づいた歴史解説
■本書について（「序」より抜粋）
この講義録は，来し方をかえりみつつ自らに講述したところを整えたものである．Dirichletによる解析的整数論の創始を念頭に置き，19世紀中葉までの整数論の展開を主とする．Euclid，Fermat，Euler，Lagrange，Legendre，そして就中Gaussにならい算法を愛でつつ歩む．古色と映ることをいとわず．整数論の何れの方に進むにしても素養とされるところゆえ．著者の嗜好による採取，彩色のありかたをも含め，願わくば若き人々の学びの縁とならんことを．
目次
＊略目次
第1章 整数の整除
第2章 整数の合同
第3章 指標
第4章 2次形式序論
＊詳細目次
定理表
読者諸氏へ
第 1章 整数の整除
1.整除.約数.倍数.
2.整除からの偏り.剰余定理.
3.最大公約数. Euclidの互除法.
4.互除法の別解釈.
5.非整除の乗法性. Modular群.
6.互いに素と整除. Euclidの基本定理.
7.多整数の最大公約数.
8. 1次不定方程式の解法.
9.連立 1次不定方程式の解法. Smith標準形.
10.素数の定義.最小公倍数と最大公約数.
11.素因数分解の一意性. Euler積. Zeta-函数.素数定理前史.
12.素因数分解の表示. Chebyshevの素数定理.
13.最大公約数と最小公倍数の分解.
14.整数論的函数.約数集合の分解. Dirichlet級数.
15.乗法的函数.完全乗法的函数.
16.整数論的函数の乗法的な和.
17.整数論的函数の合成積.
18. Mobius反転公式.
19.互いに素の数式化. Euler函数.
20. Legendre篩.
21.既約分数の集合.有理近似.
22.正則連分数.互除法との関係.
23. Lagrangeの連分数論.
24.主近似分数.最優等近似.最良近似.
25.主近似分数と Legendre判定定理.
26.主近似分数と modular群の作用.
27. Euclidの伝統.連分数論小史.
第2章 整数の合同
28.合同式.法.剰余類.剰余系.
29.既約剰余系. Fermat-Eulerの定理.
30. 1次合同方程式の解.
31.剰余類環.直和 (積)分解.
32.連立 1次合同方程式.
33.既約剰余類群.直積分解.
34.合同方程式一般.法の素因数分解.解の個数.
35.素数の法. Lagrangeの基本定理.
36. Wilsonの定理.
37.合成数判定.高ベキ乗合同計算.
38.蓋素数.擬素数.強蓋素数.強擬素数.
39.因数分解に関するρ法.
40.ベキ剰余.剰余類の位数.
41.素数の法.原始根の存在証明.
42.原始根と素数判定.
43.素数ベキの法.剰余系の構造.
44.一般の法.原始根存在の条件.
45.ベキ剰余に関する Euler判定定理.
46.離散対数.離散対数に関する ρ法.
47.ベキ乗合同方程式の特解.
48.確率的素数判定法.確率的因数分解法.
49.量子計算による因数分解.
50.量子計算の測定と連分数.
51.公開鍵暗号小史.因数分解法小史.
第 3章 指標
52.剰余類加群上の Fourier解析.
53.既約剰余類群上の Fourier解析.
54. Dirichlet指標.
55.指標の導手.原始的指標.
56.指標の原始性条件.原始的実指標.
57.指標の Fourier解析.消滅定理. Gauss和.
58.指標の Fourier係数.詳細計算.
59. 2次剰余. Legendre記号.
60. 2次剰余の相互律.証明小史.
61.相互律と保型性.
62.相互律の Dirichlet証明. Poisson和公式.
63.相互律の Gauss第 4証明. Gauss和の明示式. Jacobi和.
64. Jacobi記号.相互律の意味.
65. 2次合同方程式の解法.
66.円分方程式. Gaussの視座と遺稿.
67.整数から多項式へ.円分多項式の既約性.
68.円分多項式の Euler-Gauss分解.
69.相互律の Gauss第 6証明.
70.有限体.相互律の Gauss第 7, 8証明.
71.相互律の発見. Legendre証明. Gauss和前史.
第 4章 2次形式序論
72.判別式.原始的形式.正規表現.基本判別式.
73. Lagrangeの判定定理. Brahmagupta等式. Kronecker記号.
74. Lagrangeの簡約理論.正規表現の標識系.
75.広義類別.狭義類別.両面類.
76.類数の有限性.不定方程式 pellD(4).正規表現への到達法.
77.正定値 2次形式の場合. Modular群の基本領域.
78.正定値 2次形式の簡約手順.
79. 2平方数の和と Eulerの定理.
80. 2平方数の和.解の個数.
81.判別式 －20の場合.類群の萌芽.
82.判別式 －231の場合.種群の萌芽.
83.正定値 2次形式による特解表現.
84.不定値 2次形式の簡約.簡約 2次無理数.
85.純循環連分数.
86.不定値 2次形式の円環軌道.周期の偶奇性.
87.不定方程式 pelld( -1)の解法. Lagrangeの定理.
88.不定方程式 pelld( -4)の解法. Serretの手法.
89. Lagrangeの算法 I. Cakrav.ala算法.
90. Lagrangeの算法 II.主形式への変換.
91. Dirichletの素数定理. Selbergの補題.
92.対角型3元2次形式. Legendre-Dedekindの定理.
93. 2次形式の合成理論.類群.合成理論小史.
94. 2次形式の種の理論.種指標.
95. 2次形式の類数とL-函数. Dirichletの類数公式.
96. Dirichlet-Weberの素数定理.
参考文献
索引
定理表
執筆者紹介
○著者略歴
本橋洋一（もとはしよういち）
理学博士（東京大学）
フィンランド科学アカデミー外国人会員
主 著
Sieve Methods and Prime Number Theory（Tata IFR & Springer Verlag, 1983）
Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function（Cambridge Univ. Press, 1997）
解析的整数論I－素数分布論－（朝倉書店，2009）
解析的整数論II－ゼータ解析－（朝倉書店，2011）
