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最終更新日:2018.12.07

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幾何学百科II幾何解析

幾何解析

A5/436ページ/2018年11月05日
ISBN978-4-254-11617-5 C3341
定価7,884円(本体7,300円+税)

酒井隆 ・小林治 ・芥川和雄 ・西川青季 ・小林亮一 著

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紀伊國屋書店 旭屋倶楽部 東京都書店案内

偏微分方程式と密接な関係をもつ微分幾何学の諸相を,基礎編の「リーマン幾何速成コース」および4章からなる発展編によって概観。〔内容〕リーマン幾何速成コース/相対論/山辺の問題と山辺不変量/調和写像/リッチフローと複素幾何

編集部から

○本巻について
曲率という局所的情報からいかなる大域的情報が得られるか。急成長する「幾何解析」の分野から注目の話題を紹介。

○シリーズ刊行のことば(編集委員より)
 幾何学は,数学の諸分野や物理学を中心とする周辺諸科学と刺激し合い,現在も急速な成長と発展を続けている。
 このシリーズでは,これまでに築かれた幾何学を概観し,将来の発展への切り口を探るためのテーマを厳選した.理論体系として内容を整備することよりは,数学的実体の有機的関連性を重視して,全巻の構成に臨んでいる。
幾何学の美しさ,その魅惑的な展開を感じて頂ければ幸いである。

目次

第1章 リーマン幾何速成コース
 多様体に関する用語
 1.1 距離の立場から見た古典幾何
  1.1.1 ユークリッド幾何
  1.1.2 球面幾何
  1.1.3 双曲幾何
 1.2 リーマン計量に関する基礎概念
  1.2.1 リーマン計量の定義と例
  1.2.2 レヴィ=チヴィタ接続と共変微分・平行移動
  1.2.3 測地線,ヤコビ場と指数写像
  1.2.4 曲率
 1.3 リーマン幾何の諸手法
  1.3.1 測地線の大域的挙動
  1.3.2 リーマン多様体上の測度
  1.3.3 ラプラシアン
  1.3.4 比較定理
 参考文献

第2章 相対論
 2.1 ミンコフスキー時空のローレンツ幾何
 2.2 観測者
 2.3 相対論的運動学
 2.4 ローレンツ多様体
 2.5 物質場
 2.6 エネルギーテンソル
 2.7 電磁場
 2.8 重力場
 2.9 曲率の計算
 2.10 ニュートン近似
 2.11 シュヴァルツシルト解
 2.12 宇宙論モデル
 2.13 重力波
 2.14 特異点定理
 2.15 正質量定理
 あとがき
 参考文献

第3章 山辺の問題と山辺不変量
 3.1 スカラー曲率
 3.2 山辺の問題
 3.3 山辺不変量
 3.4 Rnでのディラック作用素
 3.5 スピン構造,スピンc構造
 3.6 ディラック作用素とスカラー曲率
 3.7 サイバーグ-ウィッテン方程式
 3.8 ペンローズ不等式と逆平均曲率流
 3.9 リッチフローと3次元多様体
 付録:グラスマン代数
 参考文献

第4章 調和写像
 4.1 調和写像の存在定理
  4.1.1 調和写像の方程式
  4.1.2 放物的調和写像の方程式
  4.1.3 関数空間と微分作用素
  4.1.4 時間局所解の存在
  4.1.5 時間大域解の存在
  4.1.6 調和写像の一意性
 4.2 調和写像と強剛性定理
  4.2.1 Kähler多様体の強剛性定理
  4.2.2 強剛性定理の証明
  4.2.3 調和写像の複素解析性
  4.2.4 Hermite対称空間の場合
 参考文献

第5章 リッチフローと複素幾何
 5.1 Ricci flowの勾配流解釈
 5.2 Riemann幾何的熱浴と単調量
  5.2.1 Riemann幾何的熱浴とBishop-Gromov体積比較定理
  5.2.2 Riemann幾何的熱浴とW-entropy
 5.3 W-entropyとRicci soliton
 5.4 Kähler-Ricci flowの直径評価
 5.5 Cheeger-Colding理論と標準近傍のモデル空間のコンパクト性
  5.5.1 標準近傍のモデル空間の定義.Andersonの間隙定理
  5.5.2 Cheeger-Colding理論とKS(n,κ)のコンパクト性
  5.5.3 時間静的Ricci flow時空としてのRicci-flat空間の構造
 5.6 標準半径 ≥ r0の完備Kähler多様体の空間の弱コンパクト性
 5.7 Kähler-Ricci flowの空間の弱コンパクト性と偏極標準半径
  5.7.1 Partial-C0-評価と偏極Kähler-Ricci flowに対する粗い長時間擬局所性定理
  5.7.2 偏極標準半径の定義
  5.7.3 pcrが一様に下から押さえられる偏極Kähler-Ricci flowの集団の収束理論
 5.8 K(n,A)の偏極Kähler-Ricci flowの構造
  5.8.1 K(n,A)の列の極限の計量構造と直線束構造
  5.8.2 K(n,A)の列の極限の局所variety構造
  5.8.3 偏極Kähler-Ricci flowの列の極限の直線束構造と偏極Kähler-Ricci flowに沿う距離の評価
  5.8.4 曲率が大きい領域の体積評価
  5.8.5 異なる時間スライスの|R| |λ| → 0を仮定しない比較
  5.8.6 偏極Kähler-Ricci flowの空間K(n,A)の弱コンパクト性定理5.102の応用
 5.9 展望
 参考文献

索引