朝倉数学大系 10 線形双曲型偏微分方程式 ―初期値問題の適切性―

西谷 達雄(著)

西谷 達雄(著)

定価 6,050 円(本体 5,500 円+税)

A5判/296ページ
刊行日:2015年09月15日
ISBN:978-4-254-11830-8 C3341

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内容紹介

t方向に双曲型である微分作用素の初期値問題をめぐる考究。〔内容〕初期値問題の適切性/双曲型多項式/特異性の伝播と陪特性帯/狭義双曲型作用素/Hamilton 写像と初期値問題/実効的双曲型特性点をもつ微分作用素の初期値問題/他

編集部から

微分方程式における初期値問題が適切であるとは,粗くいえば考えている微分作用素の記述する現象において「因果律」が成り立つことである.本書はt=t(x)が所与としたときにどのような微分作用素がt方向に双曲型なのかという問に対する,基本的な結果を解説する.〔内容〕初期値問題の適切性/双曲型多項式(エネルギー評価,Lipschitz連続)/特異性の伝播と陪特性帯/狭義双曲型作用素/Hamilton写像と初期値問題/双曲型2次形式/広義Hamilton流/擬微分作用素/局所双曲型エネルギー評価と初期値問題/双曲型シンボルの評価/擬微分作用素と微分作用素の合成シンボルの漸近表現/実効的双曲型特性点での超局所双曲型エネルギー評価/Ivrii-Petkov-Hormander条件/Gevreyクラスでの初期値問題

目次

第1章 初期値問題の適切性
 1.1 適切性と因果律
 1.2 初期値問題の可解性
第2章 双曲型多項式I
 2.1 Nuij の近似定理
 2.2 Bezout 形式と多項式の根の分離
 2.3 Leray のsymmetrizer
 2.4 双曲型多項式の局所化
 2.5 特性根の微分可能性
第3章 双曲型多項式II
 3.1 双曲型多項式の双曲錐
 3.2 双曲錐の半連続性
 3.3 特性根のLipschitz 連続性
第4章 特異性の伝播と陪特性帯
 4.1 擬微分作用素のcalculus
 4.2 L2 有界性
 4.3 波面集合
 4.4 1 階双曲型作用素
 4.5 陪特性帯
第5章 狭義双曲型作用素
 5.1 特異性の伝播
 5.2 狭義双曲型作用素とエネルギー評価
 5.3 狭義双曲型でない2 階双曲型作用素の例
第6章 Hamilton 写像と初期値問題
 6.1 多重特性点と適切性
 6.2 伝播錐と超局所時間関数
 6.3 2 次特性点の分類と初期値問題
 6.4 実効的双曲性
 6.5 超局所時間関数に関する標準形
第7章 双曲型2 次形式
 7.1 symplectic ベクトル空間上の2 次形式
 7.2 補題6.3.3 の証明
 7.3 座標変換に関する1 補題
 7.4 正定値2 次形式に関する1 補題
第8章 広義Hamilton 流
 8.1 広義特性曲線
 8.2 広義特性曲線とHamilton-Jacobi 方程式
 8.3 依存領域と決定領域
第9章 擬微分作用素
 9.1 表象のGauss 型変換
 9.2 Gauss 型変換の剰余項評価
 9.3 Weyl-HŁormander calculus
 9.4 擬微分作用素の有界性
第10章 局所双曲型エネルギー評価と初期値問題
 10.1 局所双曲型エネルギー評価と解の一意性
 10.2 局所双曲型エネルギー評価と解の存在以下
 10.3 超局所双曲型エネルギー評価
 10.4 実効的双曲型特性点をもつ微分作用素の初期値問題
第11章 双曲型シンボルの評価
 11.1 双曲型シンボルの評価I
 11.2 双曲型シンボルの評価II
第12章 シンボルT 􀀀M#P#TM の漸近表現
 12.1 超局所時間関数とシンボルクラス
 12.2 予備的な合成
 12.3 超局所時間関数の高次冪シンボル
 12.4 高次冪シンボルの合成
 12.5 T-M#P#TM の漸近表現
第13章 実効的双曲型特性点での超局所双曲型エネルギー評価
 13.1 Q(z) の定義とp(z;H) のQ(z) による分離
 13.2 シンボルT-M#P#TM の評価
 13.3 超局所双曲型エネルギー評価
第14章 Ivrii-Petkov-Hormander 条件
 14.1 簡単な例
 14.2 漸近的座標変換
 14.3 漸近解の構成(定理6.3.3 の証明)
 14.4 定理6.3.3 の証明(続き)
第15章 Gevrey クラスでの初期値問題
 15.1 合成公式
 15.2 合成シンボルの評価
 15.3 解の存在定理
 15.4 依存領域の評価
おわりに
参考文献
索   引

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