第10章練習問題

(1) Alfrano--Luxモデル.: 式(10.6) \[ \frac{\partial \omega(z, t)}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial z}\Bigl[A(z)\omega(z, t)\Bigr] + \frac{1}{2}\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\Bigl[D(z)\omega(z, t)\Bigr] \label{eq:AL-model-FP} \] の定常解($t \rightarrow \infty$)が式(10.9) \[ \omega_{0}(z) = \frac{1}{{\rm B}(\epsilon_{1}, \epsilon_{2})}z^{\epsilon_{1}-1}(1-z)^{\epsilon_{2}-1} \] となることを導け.
(2) Alfrano--Luxモデル.: 式(10.10) \[ {\rm ED}_{F}(t) = N_F{\rm ln}\frac{p_{F}}{p(t)} \] と式(10.11) \[ {\rm ED}_{C} =-r_{0}N_c \xi \] から対数収益率が式(10.12) \begin{eqnarray} \nonumber r(t) &=& {\rm ln}\frac{p_{t+\Delta t}}{p_{t}} \\ \nonumber &=& r_{0}\frac{z(t)}{1-z(t)}\eta(t) \end{eqnarray} となることを導け.
(3) Isingモデル.: 最近接相互作用を有する一次元Isingモデルに対応するGlauber力学系 \[ S_i(t+\Delta t) = \left\{ \begin{array}{lcl} +1 & w.p. & p_{+}(t) = \frac{1}{1+\exp(-I_i(t)/\theta)} \\ -1 & w.p. & p_{-}(t) = 1 - p_{+}(t) \end{array} \right. \] から, 平均場近似($m(t) \approx S_{i-1}(t) = S_{i+1}(t)$)に対応する秩序パラメータ$m(t)$の発展方程式 \[ m(t+\Delta t) = \tanh\Bigl(\frac{Jm(t)}{\theta}\Bigr) \] を求めよ. ここで$\theta>0$は温度に対応するパラメータであり, $I_i(t) = J(S_{i-1}(t)+S_{i+1}(t))$, $J >0$とする. さらに, この発展方程式の固定点を$J/\theta>1$と$J/\theta<1$に対して分類せよ. また, これらを用いて $\theta$に対する$m$の固定点の分岐図を描け.

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