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最終更新日:2019.11.08

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ジャンル数学数学一般

シリーズ: すうがくの風景 3

結び目と量子群

結び目と量子群

A5/200ページ/2000年06月10日
ISBN978-4-254-11553-6 C3341
定価3,630円(本体3,300円+税)

村上順 著

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結び目の量子不変量とその背後にある量子群についての入門書。量子不変量がどのように結び目を分類するか,そして量子群のもつ豊かな構造を平明に説く。〔内容〕結び目とその不変量/組紐群と結び目/リー群とリー環/量子群(量子展開環)

目次

0. 序 論
1. 結び目とその不変量
 1.1 結び目
    結び目の数学的取り扱い/結び目の図/ライデマイスター変形/結び目の例/
    向きのついた結び目
 1.2 不変量
    結び目の見分け方/結び目の不変量/不変量の例
 1.3 ジョーンズ多項式
    ジョーンズ多項式の定義/ジョーンズ多項式の計算法/鏡像のジョーンズ多項式
 1.4 状態和を和いた不変量
    状態和/3彩色数/カウフマンの状態和/ライデマイスター変型との関係/
    ジョーンズ多項式との関係/ジョーンズ多項式の正当性
 1.5 さまざまな多項式不変量
    アレキサンダー多項式/ホンフリー多項式/カウフマン多項式/平行化
2. 組紐群と結び目
 2.1 群
    紐と群/群の例/部分群/正規部分群と商群/準同型写像
 2.2 対称群
    対象群の定義/符合/生成元と関係式
 2.3 組紐群
    組紐の定義/群構造/生成元と関係式
 2.4 組紐からできる結び目
    組紐の閉包/マルコフ変形
 2.5 マルコフトレース
    群環/トレース
3. リー群とリー環
 3.1 リー群
    対称性/直交群とユニタリ群の定義/1次元空間に作用する群/2次元空間に作用
    する群/半直積/O(2,R)の構造/2面体群/U(2,C),SU(2,C)の構造/SU(2,C)と
    SO(3,R)との対応/一般線形群GL(2,C)/合同変換群,アフィン変換群
 3.2 群の線形表現
    線形変換と線形表現/不変部分空間/既約表現/半単純な表現
 3.3 群のさまざまな表現
    置換表現/1次表現/双対表現/テンソル積表現/対称群のテンソル積への作用
 3.4 GL(2,C)のさまざまな線形表現
    自然表現,1次表現/自然表現のテンソル積表現/自然表現の対称テンソル積表現
 3.5 リー環
    リー環の特質性/曲率/接平面/リー群の接空間/リー群とリー環の対応/
    リー環の定義/リー環の線形表現/対数写像/リー群の表現に対応するリー環の
    表現/双対表現,テンソル積表現/gl(2,C)の表現
 3.6 もっとも基本的なリー環sl(2,C)
    定義/生成元と関係式/sl(2,C)の表現
 3.7 リー環の展開環
    テンソル積代数/展開環の定義/リー環の表現の拡張/sl(2,C)の展開環
 3.8 中心化環
    作用と可換な自己準同型のなす線形環Endg(V)/Endg(V)の構造/テンソル積表現
    の中心化環/sl(2,C)の場合
4. 量子群(量子展開環)
 4.1 量子群の導入
    量子化/対称性の量子化/展開環の量子化
 4.2 量子群の表現
    線形表現/自然表現/テンソル積表現/テンソル積の結合律/自然表現の対称
    テンソル積/テンソル積に関する結合律の証明/リー環の余可換性/量子展開
    環の非余可換性
 4.3 ホップ代数
    積と余積/ホップ代数としての群環/ホップ代数としてのリー環の展開環/
    ホップ代数としての量子展開環
 4.4 R-行列
    置換の量子化/中心化環/T2(V)の中心化環/Tn(V)の中心化環/ジョーンズ環/
    自然表現の場合のR-行列
 4.5 トレース
    組紐群の表現/マルコフトレース/結び目不変量
 4.6 普遍R-行列
    R-行列の一般化/三角関数式と組紐関係式/普遍R-行列の自然表現/既約表現上
    の普遍R-行列/既約表現に対応する不変量/ジョーンズ多項式の平行化との
    関係/一般の量子群と結び目の不変量
5. 参考図書
6. 索  引
7. 編集者との対話

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