講座 数学の考え方 13 新版 ルベーグ積分と関数解析

谷島 賢二(著)

谷島 賢二(著)

定価 5,940 円(本体 5,400 円+税)

A5判/312ページ
刊行日:2015年04月20日
ISBN:978-4-254-11606-9 C3341

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内容紹介

測度と積分にはじまり関数解析の基礎を丁寧に解説した旧版をもとに,命題の証明など多くを補足して初学者にも学びやすいよう配慮。さらに量子物理学への応用に欠かせない自己共役作用素,スペクトル分解定理等についての説明を追加した。

編集部から

目次

1 ルベーグ積分の考え方
 1.1 リーマン積分
  1.1.1 リーマン積分の定義
  1.1.2 上積分と下積分
  1.1.3 リーマン積分の基本性質
 1.2 リーマン可積分性と連続性
  1.2.1 零集合と振動量
  1.2.2 ルベーグの定理
 1.3 広義積分
 1.4 リーマン積分からルベーグ積分へ
 1.5 ルベーグのアイデア
 1.6 α-代数と測度
 練習問題
2 1 次元ルベーグ測度
 2.1 ルベーグ外測度
 2.2 ルベーグ可測集合
 2.3 定理2.6,定理2.7 の証明
 2.4 測度の基本性質
 2.5 ルベーグ測度の正則性
 練習問題
3 ルベーグ可測関数
 3.1 ルベーグ可測関数の定義
 3.2 可測関数の収束極限
 3.3 単関数と可測関数の単関数による近似
 3.4 可測関数の階段関数,連続関数による近似
 3.5 エゴロフの定理
 練習問題
4 ルベーグ積分
 4.1 ルベーグ積分の定義
  4.1.1 分布関数
  4.1.2 非負可測関数の積分
  4.1.3 一般の可測関数の積分
 4.2 単関数の積分
 4.3 単調収束定理とファトゥの補題
 4.4 単関数による積分の近似
 4.5 積分の線形性と単調性
 4.6 変数変換公式
 4.7 ルベーグの収束定理とその応用
 4.8 積分の強絶対連続性
 練習問題
5 微分と積分の関係
 5.1 ビタリの被覆定理
 5.2 単調関数の微分
 5.3 有界変動関数
 5.4 積分の微分
 5.5 絶対連続性
 練習問題
6 ルベーグ積分の抽象論
 6.1 測度空間
  6.1.1 基本性質
  6.1.2 測度空間の例
  6.1.3 測度空間の完備化
 6.2 可測関数
  6.2.1 可測関数の定義
  6.2.2 可測関数の空間
 6.3 一般の測度空間上の可測関数の積分
  6.3.1 非負関数の積分
  6.3.2 一般の関数の積分
  6.3.3 単関数とその積分
  6.3.4 単調収束定理とファトゥの補題
  6.3.5 積分の線形性と単調性
  6.3.6 ルベーグの収束定理
 練習問題
7 測度空間の構成と拡張定理
 7.1 外測度とカラテオドリーの定理
 7.2 前測度とジョルダン測度
  7.2.1 半代数
  7.2.2 前測度の定義するジョルダン測度
  7.2.3 ジョルダン測度の誘導する外測度
  7.2.4 ホップの拡張定理
 7.3 ルベーグ・スティルチェス測度
 7.4 直積測度
 7.5 n 次元ルベーグ測度の正則性
 7.6 フビニ・トネリの定理
 練習問題
8 符号付き測度
 8.1 符号付き測度の例
 8.2 ジョルダン分解とハーン分解
 8.3 ラドン・ニコディムの定理とルベーグ分解
  8.3.1 ラドン・ニコディムの定理
  8.3.2 ルベーグ分解
  8.3.3 R 上のボレル測度のルベーグ分解
  練習問題
9 ノルム空間とバナッハ空間
 9.1 ノルム空間
  9.1.1 ノルム空間の定義
  9.1.2 ノルム空間における収束
  9.1.3 部分空間
 9.2 バナッハ空間
 9.3 有界線形作用素
 9.4 ベクトル値関数の微分と積分
 9.5 ベールの範疇定理,一様有界性定理,開写像定理
 練習問題
10 ルベーグ空間とソボレフ空間
 10.1 Lp 空間
  10.1.1 ヤング,ヘルダー,ミンコウスキの不等式
  10.1.2 ノルム空間Lp(X)
  10.1.3 Lp(X) の完備性
  10.1.4 単関数の稠密性
 10.2 ルベーグ空間Lp(Ω)
  10.2.1 ルベーグ空間の可分性
  10.2.2 近似定理・フリードリックスの軟化子
 10.3 積分作用素
 10.4 ノルム空間の完備化
 10.5 ソボレフ空間
  10.5.1 多重指数
  10.5.2 ソボレフ空間の定義
  10.5.3 弱微分とソボレフ空間
 練習問題
11 ヒルベルト空間
 11.1 内積空間とヒルベルト空間
 11.2 直交射影
 11.3 完全正規直交系
 11.4 ヒルベルト空間の直和空間
 11.5 フーリエ級数
 練習問題
12 双対空間
 12.1 ヒルベルト空間の双対空間
 12.2 負の指数のソボレフ空間と超関数
 12.3 Lp 空間の双対空間
 12.4 C(X) の双対空間,リース・マルコフの定理
 12.5 汎弱位相
 12.6 リースの表現定理の偏微分方程式への応用
  12.6.1 ソボレフ空間のトレース定理
  12.6.2 ラックス・ミルグラム(Lax-Milgram) の定理
  12.6.3 古典解と弱解
 練習問題
13 ハーン・バナッハの定理・弱位相
 13.1 ハーン・バナッハの定理
 13.2 分離定理
  13.2.1 点と点の分離
  13.2.2 閉部分空間と点の分離
  13.2.3 第二双対空間
 13.3 弱位相・弱収束
  13.3.1 弱位相・弱収束の定義
  13.3.2 弱位相の性質
 練習問題
14 フーリエ変換
 14.1 補間定理といくつかの積分不等式
  14.1.1 リース・トーリンの補間定理
  14.1.2 ヤングの不等式
 14.2 フーリエ変換
  14.2.1 可積分関数のフーリエ変換
  14.2.2 急減少関数のフーリエ変換
  14.2.3 フーリエ変換のL2 理論
  14.2.4 ソボレフの埋蔵定理
  14.2.5 ハウスドルフ・ヤング(Hausdorff-Young) の不等式
 14.3 シュワルツ超関数とそのフーリエ変換
 14.4 熱伝導方程式,作用素の半群
 14.5 シュレーディンガー方程式
 練習問題
15 非有界作用素
 15.1 閉作用素と閉グラフ定理
 15.2 共役作用素
  15.2.1 有界作用素の共役作用素
  15.2.2 非有界作用素の共役作用素
  15.2.3 共役作用素のグラフ
 15.3 閉値域定理
 練習問題
16 レゾルベントとスペクトル
 16.1 ベクトル値関数
 16.2 レゾルベント
 16.3 スペクトルの分離
 16.4 スペクトルの孤立点
 16.5 共役作用素のスペクトル
 練習問題
17 コンパクト作用素とそのスペクトル
 17.1 コンパクト作用素
 17.2 レーリッヒのコンパクト性定理
 17.3 リース・シャウダーの定理
 17.4 ヒルベルト空間のコンパクト作用素
 17.5 楕円型作用素のスペクトル
 練習問題
18 自己共役作用素のスペクトル分解
 18.1 有界自己共役作用素のスペクトル表現
  18.1.1 有界自己共役作用素の連続関数
  18.1.2 スペクトル測度,スペクトル表現
  18.1.3 有界自己共役作用素の可測関数
 18.2 射影値測度と射影値測度による積分
  18.2.1 射影値測度・スペクトル射影
  18.2.2 射影値測度による積分
 18.3 有界自己共役作用素のスペクトル分解
 18.4 可換な有界自己共役作用素の同時対角化
 18.5 正規作用素の同時スペクトル表現・スペクトル分解
 18.6 非自己共役作用素のスペクトル分解
 18.7 ストーンの公式
 練習問題
参考文献
索引

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