第I部　微分積分：変化する世界を「予測」する言葉

第1章　関数：現象をモデル化する
　1.1 関数の概念：変数間の関係の記述
　1.2 基本的な関数モデル：事象の傾向の記述
　1.3 対数とネイピア数：大きなスケールの数値の取り扱い
　1.4 グラフの役割：経済と社会の可視化

第2章　数列と極限：データを扱うための基礎
　2.1 数列と一般項：数の並びの規則の定式化
　2.2 総和記号Σ と総乗記号Π：和と積の簡潔な記述
　2.3 数列の応用：複利計算と割引現在価値の数理
　2.4 極限の概念：値の収束の取り扱い

第3章　微分：瞬間の変化率の記述
　3.1 微分の基礎：平均変化率から瞬間変化率へ
　3.2 微分計算の基本法則と基本関数の導関数
　3.3 積の微分法則と連鎖律：複雑な関数の変化率
　3.4 限界費用と限界効用：追加1単位の考え方

第4章　微分法の応用：最適化問題へのアプローチ
　4.1 関数の増減とグラフの形状：全体像の把握
　4.2 最適化問題：関数の最大値・最小値の導出
　4.3 第二次導関数と変曲点：変化率の最大化
　4.4 テイラー展開：多項式による関数の近似

第5章　積分：変化の集積による全体量の把握
　5.1 不定積分と原始関数：微分の逆演算
　5.2 定積分：微小量の集積による全体量の算出
　5.3 積分の計算技法：面積の算出と応用手法
　5.4 市場均衡と余剰分析：限界概念の応用

第6章　微分方程式：時間発展と相互作用の数理モデル
　6.1 微分方程式の基本概念：変化の法則の記述
　6.2 指数関数的成長モデル：変数に比例する変化率
　6.3 ロジスティック曲線：上限を伴う成長モデル
　6.4 捕食者・被食者モデル：種の相互作用の定式化

第7章　多変数関数の微分法と最適化：機械学習への応用
　7.1 多変数関数：複数の変数で記述されるモデル
　7.2 偏微分と勾配：多変数関数の微分
　7.3 勾配降下法：機械学習における最適化アルゴリズム
　7.4 誤差逆伝播法：多層モデルにおける勾配の効率的計算


第II部　線形代数：多次元の情報を「加工」する技術

第8章　行列とベクトル：多次元データの表現と演算
　8.1 行列の基礎：データの集合表現
　8.2 ベクトルの定義：向きと大きさを持つ量
　8.3 行列とベクトルの乗法：線形変換と演算の構造
　8.4 データ行列：構成と集計・演算

第9章　写像と線形性：変換の数学的構造
　9.1 線形性の定義：関数から写像への拡張
　9.2 線形変換：幾何学的解釈と空間の操作
　9.3 ベクトル空間の構造：基底、次元、部分空間
　9.4 線形写像の構造：像、核、次元定理

第10章　連立一次方程式とその応用：掃き出し法・階数・PageRank
　10.1 連立一次方程式の基礎：消去法と幾何学的解釈
　10.2 掃き出し法と行基本変形：拡大係数行列による一般解法
　10.3 連立一次方程式の解の分類：階数と自由度
　10.4 PageRank：ネットワーク解析への線形代数的応用

第11章　行列の基本性質：行列式・逆行列・累乗
　11.1 幾何学的変換：行列による空間の操作
　11.2 行列式の幾何学的意味：面積および体積の拡大率
　11.3 逆行列：線形変換の可逆性
　11.4 ケーリー・ハミルトンの定理：行列の代数的性質とその応用

第12章　内積とノルム：データの類似度と距離の計量
　12.1 ノルムと内積：ベクトルの大きさ・距離・向きの計量
　12.2 正射影と最小二乗法：直交性による最良近似
　12.3 コサイン類似度：ベクトルの方向に基づく類似度の計量
　12.4 k-近傍法とクラスタリング：近接性に基づくデータ解析

第13章　固有値と固有ベクトル：変換の本質を捉える
　13.1 固有値と固有ベクトル：定義と代数的な導出
　13.2 行列の対角化：計算の簡略化とその応用
　13.3 2次形式の標準化：行列による幾何学的分類
　13.4 主成分分析（PCA）：多変量解析における次元削減

第14章　線形代数の応用：データ表現と次元圧縮
　14.1 画像データの解析：行列表現と線形演算
　14.2 特異値分解（SVD）：行列の構造を読み解く
　14.3 低ランク近似と次元圧縮：主要な構造を取り出す
　14.4 データ表現の応用：推薦システム

第III部　確率・統計：不確実な未来を「判断」する科学

第15章　集合と論理：データの構造的把握
　15.1 集合論の基礎：集合の定義と表現
　15.2 論理演算：AND・OR・NOT
　15.3 必要条件と十分条件：含意と論理的関係
　15.4 和事象の確率：確率と集合の対応

第16章　データの記述と要約：統計量の基礎
　16.1 度数分布とヒストグラム：データの分布の把握
　16.2 代表値：平均値・中央値・最頻値による要約
　16.3 分散と標準偏差：データの散らばりの定量化
　16.4 データの標準化：偏差値とZスコアの算出

第17章　確率論の基礎：不確実性の定式化
　17.1 古典的確率の定義：同様に確からしい事象のモデル化
　17.2 順列と組み合わせ：場合の数の算定
　17.3 確率の演算と情報の更新：余事象・条件付き確率・ベイズの定理
　17.4 確率変数と分布の指標：期待値と分散

第18章　確率分布：データのばらつきをモデル化する
　18.1 二項分布：離散的な事象の確率モデル
　18.2 ポアソン分布：希少事象の確率モデル
　18.3 正規分布：連続的なデータのモデル化と統計的推測の基礎
　18.4 極限定理：大数の法則と中心極限定理

第19章　統計的推測：標本に基づく母集団の推定
　19.1 統計的推定：点推定と推定量の概念
　19.2 区間推定：信頼区間の定義と解釈
　19.3 仮説検定：統計的推測の論理構造
　19.4 相関と回帰分析：変数間の関係性のモデル化

第20章　時系列分析：過去のデータに基づく予測
　20.1 時系列データの成分分解：トレンド、季節性、不規則成分
　20.2 移動平均：時系列データの平滑化
　20.3 自己相関：時系列データにおける周期性の評価
　20.4 自己回帰モデル：過去の値に基づく時系列予測

第21章　確率・統計の応用：予測と推測の数理
　21.1 条件付き確率とベイズ推論：データから確率を更新する
　21.2 回帰と予測：データから未来を読む
　21.3 分類モデルの基礎：決定木と確率的分類
　21.4 モデル評価と汎化性能：未知データに通用する力を測る

第22章　生成AIを支える数理：基礎数学の総合としての言語モデル
　22.1 生成AIを1つの数理モデルとして見る
　22.2 ベクトル表現と確率化：埋め込み、線形変換、softmax
　22.3 attention：内積、確率重み、文脈の合成
　22.4 学習の基本：損失関数、勾配、パラメータ更新

各節末練習問題の解答
索引