現代基礎数学 11 フーリエ解析とウェーブレット

新井 仁之(著)

新井 仁之(著)

定価 4,400 円(本体 4,000 円+税)

A5判/264ページ
発売予定日:2022年01月01日
ISBN:978-4-254-11761-5 C3341

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内容紹介

フーリエ解析とウェーブレットの基礎を,画像処理への応用を交えて丁寧に解説する。〔内容〕フーリエ級数/フーリエ変換/窓フーリエ変換とその反転公式/連続ウェーブレット変換とその反転公式/ウェーブレットの画像処理への応用例/他。

編集部から

目次

1. フーリエ級数
 1.1 熱方程式からフーリエ級数へ
  1.1.1 熱方程式
  1.1.2 作業仮説の元での解
  1.1.3 作業仮説による制限
  1.1.4 フーリエ級数登場
 1.2 フーリエ級数展開について
 1.3 フーリエ級数の計算Tipsと計算例
 1.4 複素フーリエ級数
 1.5 定理1.6の証明
 1.6 フーリエ級数と微分
 1.7 フーリエ級数による分解,加工,合成
2.フーリエ変換
 2.1 フーリエ変換の定義とその意味
 2.2 フーリエ変換の計算
 2.3 フーリエ変換で不変な関数(ガウス関数)
 2.4 多変数関数に対するフーリエ変換の定義
 2.5 d次元ガウス分布のフーリエ変換
3. たたみ込みとは何か
 3.1 たたみ込みの定義
 3.2 時不変システムとたたみ込み
 3.3 ガウス関数によるぼかし効果
 3.4 たたみ込みのフーリエ変換と周波数解析
 3.5 エッジ検出とたたみ込み
4. 急減少関数とフーリエ変換
 4.1 急減少関数の定義
 4.2 偏微分とフーリエ変換
 4.3 急減少関数のフーリエ変換
 4.4 急減少関数に対するフーリエ反転公式
 4.5 関数のエネルギーとフーリエ変換
5. L2空間におけるフーリエ変換
 5.1 内積空間
 5.2 L2空間
 5.3 ヒルベルト空間
 5.4 線形作用素の拡張定理
 5.5 L2関数のフーリエ変換
6. ハイゼンベルク・ボックスと時間-周波数に関する不確定性原理
 6.1 関数の局在範囲
 6.2 ハイゼンベルク・ボックス
 6.3 不確定性原理
7. 窓フーリエ変換とその反転公式
 7.1 窓フーリエ変換の定義と意味
 7.2 窓フーリエ変換の反転公式
8. 連続ウェーブレット変換とその反転公式
 8.1 連続ウェーブレット変換
 8.2 ウェーブレット変換と窓フーリエ変換の違い
 8.3 連続ウェーブレット変換の反転公式
 8.4 発展:各点α-ヘルダー連続性への応用
9. 離散データと離散時間フーリエ変換
 9.1 配列空間(数列空間)
 9.2 離散時間フーリエ変換
 9.3 l2上の離散時間フーリエ変換
10. 正規直交基底による分解フェーズと合成フェーズ
 10.1 ヒルベルト空間の正規直交基底
 10.2 多変数のフーリエ級数
 10.3 分解作用素と合成作用素
 10.4 離散時間フーリエ変換の全単射性
11. 一般周期のフーリエ級数-ポアソンの和公式とサンプリング定理-
 11.1 一般的な周期関数のフーリエ級数
 11.2 ポアソンの和公式
 11.3 サンプリング定理
12. 離散フーリエ変換(DFT)
 12.1 有限次元ヒルベルト空間l2(ZN)とフーリエ基底
 12.2 離散フーリエ基底と周波数
 12.3 2次元離散フーリエ変換
13. スペクトログラムと時間周波数解析
 13.1 スペクトログラムの構成
 13.2 スペクトログラムと音の信号
14. 2D離散フーリエ変換とたたみ込みの画像処理への応用
 14.1 ディジタル画像とl2(Z_N×Z_N2)
 14.2 周波数成分の処理による画像処理例
 14.3 循環たたみ込みと離散フーリエ変換
 14.4 空間フィルタリング
15. 多重解像度解析
 15.1 連続ウェーブレット変換とウェーブレット基底
 15.2 ハールウェーブレットによる多重解像度解析の考え方
 15.3 多重解像度近似
 15.4 ハールウェーブレットによる多重解像度解析
 15.5 ウェーブレットの性能
 15.6 ウェーブレットのモーメント消失について
 15.7 多重解像度解析の定義
 15.8 ウェーブレットの構成に便利な定理
 15.9 ウェーブレットのいくつかの例
  15.9.1 メイエのウェーブレット
  15.9.2 ドブシーのウェーブレット
 15.10 2Dウェーブレット
16. 無限離散データに対するウェーブレット解析
 16.1 準備
  16.1.1 ゼロパディング
  16.1.2 対称拡張
 16.2 線形たたみ込み
 16.3 ダウンサンプリングとアップサンプリング
 16.4 多重チャネルフィルタバンク
 16.5 1次元ウェーブレットから作るZ2上のフィルタバンク
 16.6 多重チャネルフィルタバンクによる多重解像度分解
 16.7 多重解像度分解の別の表し方
17. 有限離散データに対するウェーブレット解析
 17.1 フィルタの周期化
 17.2 Z_N×Z_N2のダウンサンプリングとアップサンプリング
 17.3 Z_N×Z_N2上の多重解像度解析
18. ウェーブレットの画像処理への応用例
 18.1 累積的エネルギー
 18.2 累積的エネルギーを利用した画像圧縮
 18.3 エッジ検出

A. 付録
 A.1 三角関数の公式集
 A.2 超関数のフーリエ変換
  A.2.1 超関数の発想
  A.2.2 緩増加超関数
  A.2.3 緩増加超関数のフーリエ変換
 A.3 意外と便利なストーン・ワイエルシュトラスの定理

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