すうがくぶっくす 21 線形代数と群の表現II

平井 武(著)

平井 武(著)

定価 5,170 円(本体 4,700 円+税)

A5変型判/304ページ
刊行日:2001年11月20日
ISBN:978-4-254-11497-3 C3341

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内容紹介

本書は,現代数学における「抽象化された群」にできるだけ自然に接近することを試みる。〔内容〕正多角形や正多面体の変換群/ユークリッド空間や非ユークリッド空間の運動群/ロバチェフスキーの双曲型非ユークリッド空間と運動群/他

編集部から

目次

○I. 非ユークリッド空間・ユークリッド空間と物理学
1. 球面および楕円型非ユークリッド空間の運動群
 1.1 n次元単位球面Snの上の球面的距離
 1.2 Snの運動群としての回転群SO(n+1)
 1.3 単位球面Sn上の幾何
 1.4 平行線の公理あれこれ
 1.5 楕円型非ユークリッド空間とその運動群
2. ミンコフスキー空間,ロバチェフスキー空間とローレンツ群
 2.1 ミンコフスキーの時空の空間とローレンツ群
 2.2 特殊ローレンツ変換とローレンツ収縮
 2.3 ローレンツ群の構造
 2.4 (n+1)次ローレンツ群SO0(n,1)の1径数部分群による表示
 2.5 n次元ロバチェフスキー空間
 2.6 双曲線による曲線座標と双曲的回転
 2.7 ローレンツ群はロバチェフスキー空間の運動群
3. 線形代数基礎
 3.1 ベクトル空間に対する同型定理
 3.2 有限次元ベクトル空間上の内積
 3.3 正方行列の正則性
 3.4 ベクトルの1次独立性と行列の正則性
 3.5 行列に対する(列)基本変形と数ベクトル空間
 3.6 行列の(行)基本変形と階数
 3.7 基本変形による逆行列の計算
 3.8 連立1次方程式の解法:係数行列の簡約化
 3.9 有限次元ベクトル空間の基底と次元
4. ロバチェフスキー空間上の幾何学,ローレンツ群と分数変換群
 4.1 ロバチェフスキー空間Lnの直線と平面
 4.2 ロバチェフスキー空間は双曲型非ユークリッド空間
 4.3 ロバチェフスキー平面と複素平面の単位円板,分数変換
 4.4 開単位円板D上の非ユークリッド幾何学
 4.5 ロバチェフスキー平面と複素上半平面,分数変換群
 4.6 4次固有ローレンツ群SO0(3,1)とその被覆群SL(2,C)
5. ニュートン力学とユークリッド運動群
 5.1 ニュートンの運動の3法則,とくにニュートンの運動方程式
 5.2 ガリレイの自然運動の研究,ケプラーの惑星運動の3法則,そして万有引力
 5.3 リンゴはなぜ落ちるか,そして,月はなぜ落ちてこないか
 5.4 ユークリッド空間の座標変換とユークリッド運動群
 5.5 ガリレイ変換による運動方程式の共変性
 5.6 質量が時間変化する場合:運動方程式と運動量
○II. 関数への群作用と群のユニタリ表現
6. ベクトル値関数への群作用と1-コサイクル
 6.1 ベクトル値関数への群作用の一般形
 6.2 ベクトル値関数とその変換の例(宇宙船の月周回)
 6.3 ベクトル値関数とその変換の例(大陽風の記述)
 6.4 運動と座標変換との双対性
 6.5 座標変換によって生ずるベクトル値関数の変換(重力場)
 6.6 群SL(2,R)による分数変換とそれによる関数の変換
 6.7 高々n次の多項式の空間Pn上での表現(有限次元既約表現)
 6.8 1-コサイクルの同値性と群の線形表現の同値性
 6.9 複素平面の上半平面上の分数変換と1-コサイクル
 6.10 複素平面の単位円板上での分数変換と群SU(1,1)
 6.11 射影空間と射影変換群,1-コサイクルの例
7. 線形代数中級
 7.1 ベクトル空間のテンソル積,写像のテンソル積
 7.2 テンソル積空間上の線形写像
 7.3 群の表現論より{直積群の外部テンソル積表現}
 7.4 群の表現論より{線形表現のテンソル積}
 7.5 ベクトル空間から生成される外積代数
 7.6 群の表現論より{表現のk階のテンソル積とk次対称群の作用}
 7.7 2階のテンソル積空間と正方行列のなす空間との同型
 7.8 n次正方行列の行列式
 7.9 n個のベクトルの外積と平行多面体の体積
8. ”積分”に対する群作用,それから生ずるユニタリ表現
 8.1 実数直線上の分数変換と群SL(2,R)のユニタリ表現
 8.2 変数変換による積分の変換
 8.3 上半平面上の不変積分と群SL(2,R)のユニタリ表現
 8.4 単位円板上の分数変換と群SU(1,1)のユニタリ表現
 8.5 非ユークリッド平面としての単位円板と3次元ローレンツ群
 8.6 不変測度・準不変測度の例
○III. 群の表現論と現代物理学
9. 表現論中級
 9.1 そのアイディア
 9.2 部分群の表現からの誘導
 9.3 二面体群Dnに対する誘導表現の計算
 9.4 交代群A4に対する誘導表現の計算
 9.5 対称群S5に対する誘導表現の計算
 9.6 表現の部分群への制限
 9.7 対称群S5と交代群A5の表現の関係
 9.8 n次回転群SO(n)のSO(n-1)からの誘導表現
 9.9 n次ローレンツ群の1つの準正則表現
 9.10 付録:準不変測度を用いた誘導表現の実現
10. 表現論過去・現在
 10.1 有限群とその表現は生まれたときから一緒
 10.2 表現の行列要素の直交関係
 10.3 群の正則表現の既約分解(ペーター_ワイルの定理)
 10.4 群の表現の指標
 10.5 回転群SO(3)およびユニタリ群SU(2)の表現
 10.6 群の線形表現の重要性
 10.7 有限次元から無限次元への飛躍
11. ローレンツ群・ユニタリ群と現代物理学
 11.1 アインシュタインの特殊相対性理論とローレンツ群
 11.2 ローレンツ群の自然表現の2次のテンソル積
 11.3 電磁場に対するローレンツ変換
 11.4 電磁場のマクスウェル方程式はローレンツ変換で不変
 11.5 ユニタリ群SU(n)のテンソル積表現
 11.6 素粒子のユニタリ群による対称性
 11.7 リー環を使ったアプローチ
12. 編集者短評
13. 索   引

執筆者紹介

【編集者】森 毅,斎藤正彦,野崎昭弘
【執筆者】平井 武

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